第四章
矩阵 · 行列式 · 线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.
在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外，还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.
§1 矩阵与行列式
一、矩阵及其秩
[矩阵与方阵] 数域（第三章，§ 1）F上的m×n个数aij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)按确定的位置排成的矩形阵列，称为m×n矩阵.记作
A=
其中横的一排叫做行，竖的一排叫做列，aij称为矩阵的第i行第j列的元素，矩阵A简记为(aij)或(aij)m´n.
n×n矩阵也称为n阶方阵，a11，a12，…，ann称为矩阵A的主对角线的元素.
行数m与列数n都是有限的矩阵，称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.
[矢量的线性相关与线性无关]对于n维空间的一组矢量x1，x2，…，xm，若数域F中有一组不全为零的数ki (i=1，2，…，m)，使
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
成立，则称这组矢量在F上线性相关，否则称这组矢量在F上线性无关.
矢量组的线性相关性的讨论：
1° 矢量组x1，x2，…，xm线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量xi可用其他矢量的线性组合来表示，即
2° 包含零矢量的矢量组一定线性相关.
3° 矢量组x1，x2，…，xm中，若有两个矢量相等：xi=xj(i≠j),则该矢量组线性相关.
4° 若矢量组x1，x2，…，xr线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若矢量组x1，x2，…，xm线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.
5° 若x1，x2，…，xr线性无关，而x1，x2，…，xr+1线性相关，则xr+1可以表示为x1，x2，…，xr的线性组合.
[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩] 由矩阵任一行的元素构成的n维矢量称为行矢量，记为
ai=(ai1,ai2,...,ain)
(i=1,2,...,m)
由矩阵任一列的元素构成的m维矢量称为列矢量，记为
(j=1,2,...,n)
式中t表示转置，即行（列）转换为列（行）.
若矩阵A的n个列矢量中有r个线性无关（r≤n），而所有个数大于r的列矢量组都线性相关，则称数r为矩阵A的列秩.类似可定义矩阵A的行秩.
矩阵A的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作rank A=r.
矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式（见本节，二）的最大阶数.
二、行列式
1. 行列式及其拉普拉斯展开定理
[n阶行列式] 设
是由排成n阶方阵形式的n2个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和
式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那末数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为
(－1)3.
若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作
D=|A|=detA=det(aij)
若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.
[标号集] 序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足
1≤i1 i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集（参见第二十一章，§1，二），C(n,k)的元素记作σ,τ,..., σ∈C(n,k)表示 σ={i1,i2,...,ik} 是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk. [子式 · 主子式 · 余子式 ·代数余子式] 从n阶行列式D中任取k行与k列（1≤k≤n－1）,由这k行与k列交点处的元素构成的k阶行列式称为行列式D的k阶子式，记作 , σ,τ∈C(n,k) 如果所选取的k行k列分别是第i1,i2,...,ik行与第i1,i2,...,ik列，则所得到的k阶子式称为主子式.即当σ=τ∈C(n,k)时，是主子式. 从行列式D中划去k行（σ）与k列（τ）后得到的n－k阶行列式称为子式的余子式，记作. 如果σ={ i1,i2,...,ik}，τ={ j1,j2,...,jk}，则称 为子式的代数余子式. 特别，当k=1时，σ={i}，τ={j},子式就是一个元素aij, aij的余子式记作，aij的代数余子式记作Aij,即 且有 （2） 或 （3） [拉普拉斯展开定理] 在n阶行列式D中任取k行（1≤k≤n-1）,那末包含于所选定的这些行中的所有k阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D，即对任意σ∈C(n,k)，1≤k≤n-1， （4） 式中∑表示对标号集C(n,k)中的所有元素求和. 拉普拉斯定理中是对行进行的，对列有类似结果 （5） 此外还有 （6） （7） 显然（2），（3）分别是（6），（7）的特例. [拉普拉斯恒等式] 设A=(aij)m´n,B=(bij) m´n(m≥n),又设l=,A的所有n阶子式为U1，U2，...，Ul，B的相应的n阶子式为V1,V2,...,Vl,则 det(AτB)= 2.行列式的性质 1° ïA1A2LAmï=ïA1ïïA2ïLïAmï ïAmï=ïAïm, ïkAï=knïAï 式中A1，A2，L，Am全为n阶方阵，k为任一复数. 2° 行与列互换后，行列式的值不变，即 ||=|A| 式中表示A的转置矩阵（见本章§2）. 3° 互换行列式的任意两行（或列），行列式变号.例如 = 4° 用数α乘行列式的一行（或列），等于将行列式乘以数α.例如 =α 5° 将行列式的一行（或列）元素乘以数α后加到另一行（或列）的相应元素上，行列式的值不变.例如 = 6° 若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式等于零. 若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零. 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零. 7° 若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式之和来表达.例如 =+ 3.几个特殊行列式 [对角行列式] = [三角形行列式] = [二阶行列式] [三阶行列式] =++——— 记忆方法 行列式的值，等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和. [四阶行列式] =-+- =-+ +-+ 注意，四阶和四阶以上的行列式不能采用三阶行列式那种记忆方法，应按拉普拉斯展开定理采用逐步降阶的方法展开. [范德蒙行列式] = 式中Õ是对一切数对（i,j）（1£j [倒数对称行列式] =