三种宇宙速度的大小和含义是什么？如何推导第一宇宙速度？
时间: 2025-09-09 06:40:25
好——把三种宇宙速度的意义、公式、数值都讲清楚，并把第一宇宙速度给出标准推导（同时说明第三宇宙速度有几种常见说法与来源）。
一、三种宇宙速度的含义与公式（概念版）第一宇宙速度 v1v_1（近地环绕速度）
含义：物体在地球表面附近作匀速圆周运动且不落回地面的最低线速度（忽略空气阻力）。
公式：
v1=GM⊕R⊕=gR⊕v_1=\sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}}=\sqrt{gR_{\oplus}}
近似数值：v1≈7.9 km/sv_1\approx 7.9\ \text{km/s}。
第二宇宙速度 v2v_2（近地逃逸速度）
含义：物体从地球表面出发，不再被地球引力束缚、到无限远速度趋于零所需的最低速度（不计空气阻力）。
公式：
v2=2GM⊕R⊕=2 v1v_2=\sqrt{2\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}}=\sqrt{2}\,v_1
近似数值：v2≈11.2 km/sv_2\approx 11.2\ \text{km/s}。
第三宇宙速度 v3v_3（脱离太阳系的速度 —— 有两种常见说法）
（A）严格的太阳系逃逸速度（相对于太阳，位于地球轨道处）：这是在地球轨道距离处要使飞行器相对于太阳最终远离太阳到无穷远而速度为零所需的速度（在太阳引力场中）：
vesc,Sun=2GM⊙r⊕v_{\text{esc,Sun}}=\sqrt{\frac{2GM_{\odot}}{r_{\oplus}}}
数值约为 ≈42.1 km/s\approx 42.1\ \text{km/s}（这是相对于太阳的速度）。
（B）教科书常给的“从地球表面出发脱离太阳系”的第三宇宙速度（综合考虑：既要脱离地球引力井，又要给出足够的太阳系能量）。一种常见近似表达为：
v3≈v22+(vesc,Sun−v⊕)2v_3 \approx \sqrt{v_2^2 +\big(v_{\text{esc,Sun}}-v_{\oplus}\big)^2}
其中 v⊕v_{\oplus} 是地球绕太阳的公转速度（约 29.8 km/s29.8\ \text{km/s}）。代入数值常得：
v3≈16.7 km/sv_3 \approx 16.7\ \text{km/s}
（这就是教科书常引用的 ∼16.7 km/s\sim 16.7\ \text{km/s}）。——注意这是一个能量叠加的近似，表示从地面直接一次性获得的速度大小。
说明：不同上下文下“第三宇宙速度”的确切定义会不同 —— 要么指相对于太阳、在地球轨道处的逃逸速率（≈42 km/s），要么指从地球表面一次性发射所需的合成速度（≈16.7 km/s，教科书常用值）。
二、第一宇宙速度的标准推导（经典推导）设地球质量 MM，半径 RR。若一物体在地表做匀速圆周运动且轨道半径约等于 RR，则维持圆周运动所需的向心力由地球引力提供：
向心力（质量 mm）：
F向心=mv2R.F_{\text{向心}}=\frac{m v^2}{R}.
万有引力（地球对物体的吸引）：
FG=GMmR2.F_G=G\frac{M m}{R^2}.
要求两者相等（刚好做圆轨道，不上升也不落下）：
mv2R=GMmR2.\frac{m v^2}{R}=G\frac{M m}{R^2}.
约去 mm，解出 vv：
v1=GMR.v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}.
利用地表重力 g=GM/R2g=GM/R^2 还可写成：
v1=gR.v_1=\sqrt{gR}.
代入地球数值得 v1≈7.9 km/sv_1\approx 7.9\ \text{km/s}。
三、关于第三宇宙速度（再解释一下公式来源）教科书常用的 16.7 km/s 的推导思想是能量法的近似合成：
要脱离地球，需提供至少 12v22\tfrac12 v_2^2 的比动能（克服地球势能）；
要脱离太阳（从地球轨道出发）还需比起点的太阳系比动能差，最小要使飞行器的日心速度≥vesc,Sunv_{\text{esc,Sun}}。地面发射后若最终远离地球后（已经克服地球重力井），其在日心框架的速度可视为地球公转速度 v⊕v_{\oplus} 与相对地球的速度叠加。最小能量需求可以近似写成能量和：
12v02≈12v22+12(vesc,Sun−v⊕)2,\tfrac12 v_0^2 \approx \tfrac12 v_2^2 + \tfrac12\big(v_{\text{esc,Sun}}-v_{\oplus}\big)^2,
从而
v0≈v22+(vesc,Sun−v⊕)2≈16.7 km/s.v_0 \approx \sqrt{v_2^2 +\big(v_{\text{esc,Sun}}-v_{\oplus}\big)^2}\approx 16.7\ \text{km/s}.
这是能量叠加的近似（假设最有利发射方向并忽略其他损失）。而更严格的计算会用轨道力学（霍曼转移、引力助推、多级推进）来计算实际所需 Δv。
四、常见数值汇总（地球附近的近似）第一宇宙速度 v1v_1 ≈ 7.9 km/s
第二宇宙速度 v2v_2 ≈ 11.2 km/s
第三宇宙速度（教科书常给，从地面一次性脱离太阳系）≈ 16.7 km/s
但注意：相对于太阳、在地球轨道处的逃逸速度 ≈ 42.1 km/s（这是日心参考系的值）。
如果你愿意，我可以：
展开把 16.7 km/s 的能量推导写成逐步代数（带具体常数代入）；或
用能量图展示“从地球表面到无穷远所需克服的两道势阱（地球与太阳）”的直观示意；或
说明实际航天任务怎么用多级火箭 / 引力助推把所需 Δv 分摊、把地球自转和霍曼转移利用到极致。你想看哪一种？